In mijn zoektocht naar een methode voor het bepalen van het volgende element in een reeks, via neurale netwerken, kwam ik allerlei ‘soorten’ getallen tegen. Getallen die we allemaal in het dagelijks leven gebruiken maar ook getallen of reeksen van getallen die bijzondere en soms zeer interessante eigenschappen hebben.

Tegelijk was ik net 52 jaar geworden, een getal dat ik gelijkstelde aan het aantal kaarten in een boek speelkaarten. Toen ik op zoek ging naar nog andere betekenissen van het getal 52 kwam ik de term ‘onaanraakbaar getal’ tegen. Dit was het begin van een zeer boeiende zoektocht naar allerlei ‘soorten’ getallen.

De ‘onraakbare getallen’ behoren tot het domein van de getaltheorie. Oorspronkelijk werd hier onder verstaan het bestuderen van de eigenschappen van de gehele getallen. Maar later werd deze term meer gebruikt als ‘de wiskunde die gemakkelijk door leken kan begrepen worden’. Binnen de getaltheorie heb je de elementaire, de analytische, de algebraïsche, de meetkundige en de numerieke. Ik ben alvast begonnen met de meest eenvoudige: de elementaire getaltheorie.

Met onderstaande wil ik enkel meegeven wat ik allemaal ben tegengekomen in mijn zoektocht. Het was niet de bedoeling om een eigen wikipedia te gaan maken, maar je kan (o.a.) daar zeker meer (aanvullende) informatie vinden.

---

---

Natuurlijk getal

Getalverzameling ℕ
Oneindige verzameling van positief gehele getallen. Meestal begint men te tellen vanaf 1, maar 0 behoort ook tot deze verzameling.
Voorbeelden: 0, 1, 5, 7, 9, 102, …

Geheel getal

Getalverzameling ℤ
Oneindige verzameling van gehele getallen (= natuurlijke getallen en hun tegengestelden).
Voorbeelden: -72, -4, 0, 1, 5, 7, 9, 102, …

Rationaal getal

Getalverzameling ℚ
Is een getal dat kan geschreven worden als een quotient van een geheel getal a en een natuurlijk getal b. In onze taal duiden we ze aan als een breuk.
Tot de rationale getallen behoren dus de gehele getallen en natuurlijke getallen.
Voorbeelden: 1, 5, -6, 5/7, 3/8, -1/2, …

Irrationaal getal

Is een getal dat niet te schrijven is als een breuk.
De rationale en irrationale getallen samen vormen de verzameling van de reële getallen.
Voorbeelden: √2, π, e (de constante van Neper)

Reëel getal

Getalverzameling ℝ
Is de verzameling van de rationele en de irrationele getallen.

Complex getal

Getalverzameling ℂ
Een complex getal bestaat uit twee delen: een reëel deel en een imaginair deel. Men schrijft dit als a + bi, waarvoor geldt dat i² = -1.
Met complexe getallen kunnen we elke vierkantsvergelijking oplossen, zelfs als de discriminant negatief is.

Quaternionen of de hamiltoniaanse getallen

Getalverzameling ℍ
Deze getallen zijn een uitbreiding op de complexe getallen. Zoals de complexe getallen een tweedimentionale uitbreiding zijn van de reële getallen, zo zijn de quaternionen een tweedimentionale uitbeiding van de complexe getallen of een vierdimentionale uitbreiding van de reële getallen.
q = a + bi + cj + dk –> i² = j² = k² = i.j.k
Quaternionen gebruikt men o.a. om bewerkingen te doen op objecten in de ruimte (bv. bepalen van de nieuwe coördianten na een rotatie van een voorwerp)./p>

Octonione of de octaven van Cailey

Getalverzameling ?
Dit is opnieuw een uitbreiding van de getalverzamelingen, nl. een 8 dimentionale uitbreiding op de reële getallen. Maar dit gaat zelfs mijn petje te boven.

Sedinionen

Getalverzameling ?
Dit is opnieuw een uitbreiding, nl. een 16 dimentionale uitbreiding op de reële getallen.

---

Omgekeerd of wederkerig getal

Het omgekeerde van een natuurlijk getal is 1 gedeeld door dat getal.
Voorbeeld:
– 7 -> 1/7
– 2/3 -> 3/2
– hertz -> seconde (1 Hz = 1/s = s^-1)
– Siemens -> Ohm (1 S = 1/Ohm = Ohm^-1)

Echte delers

Een natuurlijk getal a wordt een echte deler van b genoemd, als a een deler is van b die ook kleiner is in absolute waarde, dus niet het getal zelf.
Voorbeelden:
– de echte delers van het getal 6 zijn: 1, 2 en 3 (6 is deelbaar door 1, door 2 en door 3)
– de echte delers van het getal 9 zijn: 1 en 3 (9 is deelbaar door 1 en door 3)
– de echte deler van het getal 17 is: 1 (17 is enkel deelbaar door 1, het getal 17 zelf buiten beschouwing gelaten)

Perfect of volmaakt getal

Is een natuurlijk getal dat gelijk is aan de som van zijn echte delers.
Voorbeelden:
– 6, want de echte delers van 6 zijn 1, 2 en 3 en de som ervan is 6
– 28, want de echte delers van 28 zijn 1, 2, 4, 7 en 14 en de som ervan is 28
– probeer zelf ook eens het getal 496

Bijna perfect getal

Is een natuurlijk getal waarvan de som van alle echte delers gelijk is aan 1 minder dan het getal zelf.
Voorbeelden:
– 16, want de echte delers van 16 zijn: 1, 2, 4 en 8 en de som ervan is 15, dus 1 minder dan 16
Een bijna perfect getal is een bijzonder geval van een gebrekking getal.
Alle machten van twee zijn ‘bijna perfecte getallen’.

Semiperfect getal

Is een natuurlijk getal dat gelijk is aan de som van alle of een aantal van zijn echte delers.
Voorbeelden:
– 6, want 1 + 2 + 3 = 6
– 12, want 1 + 2 + 3 + 6 = 12 (4 niet meegenomen)
– 18, want 3 + 6 + 9 = 18 (1 en 2 niet meegenomen)
Ieder veelvoud van een semiperfect getal is opnieuw een semiperfect getal.
Ieder getal van de vorm 2^mP, met m een natuurlijk getal en P een priemgetal, zodat 2^m < P < 2^m-1, is semiperfect.
Een semiperfect getal is altijd een overvloedig getal.
Een overvloedig getal dat niet perfect is noemt men een vreemd getal.

Meervoudig perfect getal

Is een natuurlijk getal dat een exacte deler is van de som van al zijn delers, zichzelf inbegrepen. Het quotiënt is de ‘meervoudigheid’
Voorbeelden:
– 6: de echte delers van 6 en zichzelf zijn 1, 2, 3 en 6; (1 + 2 + 3 + 6)/x = 6; daaruit volgt dat x = 2; 6 is dus een meervoudig perfect getal met meervoudigheid 2
– 120: (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 8 + 10 + 12 + 15 + 20 + 24 + 30 + 40 + 60 + 120)/x = 120; x = 3; 120 is dus een meervoudig perfect getal met meervoudigheid 3

Oneven perfect getal

In de voorbeelden van de perfecte getallen merken we op dat alle perfecte getallen even getallen zijn. Er zijn tot op heden geen oneven perfecte getallen gevonden. Wel zijn er meerdere bewijzen dat er oneindig veel zouden zijn. Dit zouden dan wel zeer grote getallen zijn.

Onaanraakbaar getal

Is een natuurlijk getal dat niet gelijk is aan de som van alle echte delers van enig natuurlijk getal.
Voorbeeld:
– 2, 5, 52, 88, 96, 120, 124, …

Gebrekkig of defect getal

Is een natuurlijk getal waarvan de som van alle echte delers kleiner is dan het getal zelf.
Voorbeeld:
– 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 13, …

Overvloedig getal

Is een natuurlijk getal waaarvan de som van de echte delers groter is dan het getal zelf.
Voorbeeld:
– 12 want de echte delers van 12 zijn 1, 2 en 3, 4 en 6 en de som ervan is 16, dus groter dan 12
– ook 18, 20, 24, 30, 36, …
Het eerste oneven overvloedig getal is 945.

Bevriende getallen

De som van hun echte delers is gelijk aan hun vriend en omgekeerd.
Voorbeeld:
De getallen 220 en 284 zijn bevriende getallen.
– 220: 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284
– 284: 1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220

Samengesteld getal

Is een natuurlijk getal dat minstens twee keer door een priemgetal kan worden gedeeld.
Voorbeelden:
– 15, want 15 = 3 x 5 en 3 en 5 zijn priemgetallen
– 49, want 7 x 7 = 49 en 7 is een priemgetal

Mersenne getal

Is een positief natuurlijk getal dat precies één kleiner is dan de macht van twee: m_n = 2_n-1
Voorbeelden
– 1, 3, 7, 15, 31, 63, …

---

Priemgetal

Is een getal dat enkel door 1 en zichzelf kan gedeeld worden.
Een priemgetal kan niet perfect of bevriend zijn.
Het getal 1 wordt niet als priemgetal beschouwd.
Zie ook ‘De zeef van Eratosthenes’.
Voorbeelden:
– 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 23, 29, …

Veilig priemgetal

p2 = 2.p1 + 1
Wanneer p1 en p2 priemgetallen zijn, dan is p2 het veilige priemgetal en p1 het Sophie Germain priemgetal.
Voorbeelden:
5, 7, 11, 23, 47, 59, 83, 107, 167, 179, 227, 263, …,

Sterk priemgetal

Wanneer de gemiddelde waarde van de twee priemgetallen aan weerszijden kleiner is dat het priemgetal, noemen we dit een sterk priemgetal.
Voorbeelden:
17, want het gemiddelde van de priemgetallen aan weerszijden (13 en 19) is kleiner dan 17 (13+19/2 = 16)

Priemtweelingen

Dit zijn priemgetallen die voorkomen in de vorm p en p+2, warbij zowel p als p+2 een priemgetal is.
Voorbeeld:
– 3 en 5, 5 en 7, 17 en 19, 107 en 109, …
Men vermoed dat er oneindig veel priemtweelngen zijn maar dit is tot op heden niet kunnen bewezen.

Mersenne priemgetal

Is een Mersenne getal dat tevens ook een priemgetal is.
In bepaalde definities vinden we dat voor een echt Mersenne priemgetal, de exponent ook een priemgetal moet zijn.
Voorbeeld:
– 3 –> 2^2 – 1 = 3, dus zowel het getal als de exponent zijn priemgetallen
– ook 7, 31, 127
– 15 is geen Mersenne priemgetal omdat 2⁴-1=15, 15 wel een priemgetal is, maar niet de exponent 4. Idem voor het getal 63. Beide zijn wel Mersenne getallen maar geen Mersenne priemgetallen.

Sophie Germain priemgetal

Wanneer de gemiddelde waarde van de twee priemgetallen aan weerszijden kleiner is dat het priemgetal, noemen we dit een sterk priemgetal.
Wanneer p1 en p2 priemgetallen zijn, dan is p2 het veilige priemgetal en p1 het Sophie Germain priemgetal.
Voorbeelden:
2, 3, 5, 11, 23, 29, 41, 53, 83, 89, 113, 131, …

Neef priemgetal

Dit zijn priemgetallen die voorkomen in de vorm p en p+4, warbij zowel p als p+4 een priemgetal is.
Voorbeeld:
– 3 en 7, 7 en 11, 13 en 17, …

Sexy priemgetal

Dit zijn priemgetallen die voorkomen in de vorm p en p+6, warbij zowel p als p+6 een priemgetal is.
Voorbeeld:
– 5 en 11, 7 en 13, 11 en 17, …
Er bestaan ook sexy priemdrielingen: p, p+6, p+12 (bijvoorbeeld: 7,13,19) en sexy priemvierlingen: p, p+6, p+12, p+18 (bijvoorbeeld: 11, 17, 23, 29)

Palindroom priemgetal

Een palindroom priemgetal blijft exact hetzelfde als we de cijfers van rechts naar links lezen.
Voorbeeld:
– 313, 12721, …

---

Kardinaal getal

In de wiskunde is een kardinaalgetal (kort kardinaal), of machtigheid, een veralgemening van een natuurlijk getal die gebruikt wordt om de kardinaliteit (grootte) van een verzameling weer te geven. De kardinaliteit van een eindige verzameling is een natuurlijk getal, namelijk het aantal elementen in de verzameling.
De transfiniete kardinaalgetallen beschrijven de groottes van oneindige verzamelingen

Ordinaal getal

Of ordinaal. Geeft de positie weer van een element in een rij van verzamelingen.

Normaal getal

Is een irrationaal getal met oneindig veel decimalen waarvoor geldt dat elke cijferreeksbij benadering even vaak voorkomt als alle andere cijferreeksen van dezelfde lengte. Dit moet waar zijn voor elk talstelsel waarmee het getal kan worden uitgeschreven.

Algebraïsch getal

Is een reëel of complex getal dat een nulpunt is van een polynoom met gehele coëfficienten. De polynoom is dus van de vorm:
f(x) = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + … + a₂x² + a₁x+a₀ met n > 0, alle a_i gehele getallen zijn en a_n verschillend is van 0.

Autobiografisch getal

Een autobiografisch getal is een getal dat zichzelf op de volgende manier beschrijft:
– Het eerste cijfer geeft het aantal keer aan dat 0 in het getal zit, het tweede cijfer het aantal keer 1, het derde het aantal keer 2, enzovoort.
Voorbeeld:
– 42101000 is een autobiografisch getal: er ziten 4 nullen in, 2 enen, 1 twee, 0 drieën en 1 vier, 0 vijven, 0 zessen en 0 zevens. Het kleinste autobiografisch getal is 1210.
Een autobiografisch getal in ons tientallig stelsel kan hoogstens 10 cijfers bevatten, maar in talstelsels met grondtal groter dan tien kunnen langere autobiografische getallen worden gemaakt.
De enige autobiografische getallen uit het tientallig stelsel zijn 1210, 2020, 21200, 3211000, 42101000, 521001000 en 6210001000.

Imaginair getal

Is een complex getal waarvan het kwadraat een negatief reëel getal is. Een imaginair getal kan geschreven worden als bi, waarin b een reëel getal is en i de imaginaire eenheid voorstelt.
Voorbeelden:
i² = -1
i³ = -i
i⁴ = 1
i⁵ = i
i⁶ = -1
…

Plastisch getal

Het plastisch getal is in de architectuur een speciale verhouding waarmee een hele reeks van met elkaar verbonden verhoudingen samenhangt. Deze verhoudingen vormen de grondslag van een verhoudingenleer.
Het plastisch getal wordt vaak aangeduid met de griekse letter Ψ (psi).

– ∛(1/2 + 1/6.(√(23/8)) + ∛(1/2 – 1/6.(√(23/8)) ~ 1,3247
of ook nog
– ∛( 1 + ∛( 1 + ∛( 1 + …)))

Praktisch getal

Een positief geheel getal wordt gedinieerd als een praktisch getal wanneer elk getal van 1 tot en met n geschreven kan worden al een som van verschillende delers van n.
Voorbeelden
1, 2, 4, 6, 8, 12, 16, 18, 20, 24, 28, … zijn allen praktische getallen.
Als toelichting nemen we het praktische getal 12: de delers van 12 zijn 1, 2, 3, 4, 6 en 12. Verder geldt dat 5 = 2 + 3, 7 = 4 + 3, 8 = 2+ 6, 9 = 3 +6, 10 = 4 +6 en 11 = 1 + 4 + 6.
Het getal 7 is geen praktisch getal. De delers zijn 1 en 7 en hiermee kunnen door sommatie de getallen 2, 3, 4, 5 en 6 niet samengesteld worden.

Rekenkundig getal

Een natuurlijk getal n is een rekenkundig getal wanneer het rekenkundig gemiddelde van zijn delers een geheel getal is.
Voorbeelden
14: delers zijn 1, 2, 7 en 14. Het rekenkundig gemiddelde = (1 + 2 + 7 + 14)/4 = 6. Het resultaat is een geheel getal, dus 14 is een rekenkundig getal.

Surreëel getal

Transcendent getal

Is een getal dat niet algebraïsch is.
Een reëel getal, of algemener: een complex getal, x noemt men transcendent, wanneer dit getal niet als het nulpunt van een polynoom is te schrijven, waarvan de graad eindig is.
f(x) = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + … + a₂x² + a₁x+a₀, voor n >= 1 met geheeltallige of meer rationele coëfficienten a_k waarbij a_n verschillend is van 0.
Ieder transcendent getal is irrationaal, want een rationaal getal is een oplossing van een lineaire vergelijking met geheeltallige coëfficiënten, dus algebraïsch.

Transfiniet getal

…

Alef getal

Bell getal

Bernouilli getal

Catalan getal

Cullen getal

Euler getal

Fermat getal

Filz getal

Gelderman getal

Genocchi getal

Heegner getal

Kaprehar getal

Keith getal

Lychrel getal

Pavodan getal

Pell getal

Proth getal

Smith getal

Spenisch getal

Stirling getal

---

De constante van Brun

Is de som van de omgekeerde van de priemtweelingen
(1/p + 1/(p+2), waarbij p een priemgetal getal is en p + 2 het tweelingpriemgetal van p en waarbij p convergeert van 3 tot oneindig
(1+3 + 1/) + (1/5 + 1/7) + (1/11 + 1/13) + (1/17 + 1/19) + … ? 1,902160583104

De constante van Copeland-Erdös

Het cijfer 0 gevolgd door alle priemgetallen naast elkaar, als decimalen: 0,235711131719…

De constante van Champernowne

Het cijfer 0 gevolgd door alle natuurlijke naast elkaar, als decimaal: 0,12345678910111213141516…

De constante van Kaprekar

De constante van Neper (Napier)

e = 2,718281828459…

De constante van Pythagoras

de vierkantswortel van 2 ? 1,414213562373095…

De constante van Theodorus

de vierkantswortel van 3 ? 1,732050807568877…

---